過去の体験学習

「整数に関する有名な問題」　金子 元 先生

　整数は、数の中でも最も基本的なものです。特に、０以上の整数は算数において最初に学習されます。しかしながら歴史上の観点から見ると、整数は数千年もの間多くの数学者により研究され続けています。一見すると簡単な対象に見える整数について、まだわかっていないことが多いというと、驚かれるかもしれません。この体験学習では整数に関して、歴史上有名な問題を紹介したいと思います。特に、１７世紀のフランスの数学者であるフェルマーが提案した問題についてテーマとして扱い、手計算を通じて整数論の考え方を学びます。
　歴史上、整数論に関して記述のある文献として、ディオファントスが書いた「算術」(3世紀に書かれたといわれています)が重要です。フェルマーはこの本を読み、独自の研究を進めました。彼は自分が得た結果に関する48個ものメモを証明なしで本の余白に書きました。この余白の中には「フェルマーの最終定理」と呼ばれる大変難しい問題もあります(問題が解かれるまでに、約３６０年もの年月が要されました)。フェルマーの最終定理以外の有名なメモとして、整数の平方数の和に関する問題があります。例えば、５＝１×１＋２×２のように、５は２つの平方数(１×１と２×２)の和で表すことができます。一方、３は二つの平方数の和で表すことができません。フェルマーは、素数について、平方数の和で表すことができるための条件を見つけました。本講演では、この条件について考察をします。
　平方数の和に関する上記の問題を解くためには、整数に関する割り算の余りが重要な役割を果たします。整数に関する割り算の余りは、小学生の時に習ったと思います。体験学習では、整数で割った余りを通じて、剰余環と呼ばれるものを紹介します。剰余環という言葉は難しそうに聞こえるかもしれませんが、本質的には整数を割った余りを記述したものです。この概念は、現代数学においても重要です。
　また、体験学習では上記以外にも様々な有名な問題を紹介したいと思います。整数は身近で扱われているにもかかわらず、未知の部分も多く、魅力的なものです。さらに整数論で学ぶ技法は、整数以外の対象への応用も持ちます。例えば、整数で割った余りについては、暗号理論など情報理論への応用があることが知られています。

プログラム
８月１０日（金）第１エリア１E４０１
9:30　　　　　受付開始
10:00～11:30　講義と演習 　「整数に関する有名な問題」　　講師：　金子 元 助教
11:30～13:30　昼食 昼休み
13:30～15:00　講義と演習 　「整数に関する有名な問題」　　講師：　金子 元 助教
15:10～16:20　懇談会・修了セレモニー

「オイラーの公式とトポロジー」    丹下 基生 先生

　平面上にいくつかの頂点を描き、その点をいくつかの交わらない辺でつないで得られる図形を描きます。下の絵はその一例です。このとき平面は幾つかの領域に分割されます。

　1750年、オイラーはゴールドバッハに宛てた手紙の中で次のように書いています。
　「上のような図形を描いて、平面をどんなふうに分割しても、頂点、辺、領域の数をそれぞれV, E, Fとしたとき、それらの間には、

$$V - E + F = 2$$

なる美しい関係がある！」
　オイラーの手紙のあと、この公式は正しいことが証明され、今ではオイラーの公式と言われています。この不思議な関係式を詳しく研究する中で、トポロジーという分野(やわらかい幾何学)が発展してきました。
　この体験学習では、まずは多面体などの例を通してオイラーの発見を追体験してもらいます。また、どうしてこの式が平面において成り立つのか、その仕組みを一緒に考えて行きたいと思います。また、体験学習の後半では、平面ではない曲面に図形を描いたとき、オイラーの公式の左辺V-E+Fの変化を観察し、右辺の2の意味に迫ります。一体どのような値に変化するでしょうか？この体験学習を通して、オイラーの発見は些細な偶然ではなく、現代まで発展してきたトポロジーの基礎となる考え方であり、文字通り、大発見であるということが分かるでしょう。

プログラム
８月９日（金）第１エリア１E３０３

9:30　　　　　受付開始
10:00～11:30　講義と演習  「オイラーの公式とトポロジー」 講師：丹下 基生 助教
11:30～13:30　昼食 昼休み（学食等にご案内します．昼食代を持参して下さい．）
13:30～15:00　講義と演習 「オイラーの公式とトポロジー」 講師：丹下 基生 助教
15:10～16:20　懇談会・修了セレモニー（修了証をお渡しします．）

 「平面にランダムに点をばらまけるか？」 福島 竜輝 先生

平面上にランダムに点をばらまきたいと思います。何となく下の図のような結果になることが想像できると思います。

しかしこれをどうやって実現するかは、意外に難しい問題です。まず領域を上の図の通りに正方形に限ったとして、「どの特定の点を見ても、そこに点が落ちる確率は 0 だから、最初の点をどこに取ってよいかわからない」、「仮に最初の点の取り方がわかって、そのあとも同じ手続きを繰り返せるとしても、いくつ点を置けばよいのかわからない」、といった問題があります。さらに無限に広がる平面に点をばらまこうと思うと、最初の点を置く場所の悩みはさらに大きくなります。仮に正方形の場合が解決したとすれ ば、平面を正方形のタイルに分割して、それぞれの中にランダムに点をばらまくという方法が考えられますが、「タイルの一辺を 1 にしたときと 2 にしたときで、同じ結果が得られるのか？ 蜂の巣のように正六角形に分割してはいけないのか?」など心配の種は尽きません。

この体験学習では、上の問題について一つの自然な方法を提案し、それで上の心 配事が解決しているかを考えてみることにします。またその過程でネイピア数（またはオイラー数）と呼ばれる面白い数が自然に登場するので、ときどき脱線しながらその数に関してもいろいろな性質を調べてみたいと思います。

プログラム
８月４日（木）Zoomにてオンライン開催

9:30〜  入室可能
10:00〜10:05  開会宣言、講師・TAの紹介など
10:05〜11:30 講義と演習「平面にランダムに点をばらまけるか？」講師：　福島 竜輝
11:30〜13:30 お昼休み（各自で昼食をとって下さい。）
13:30〜15:00 講義と演習「平面にランダムに点をばらまけるか？」講師：　福島 竜輝
15:05〜15:15 学類長(佐垣先生)のお話
15:15〜15:45 アンケート集計結果発表と回答・質疑応答
15:45〜16:40頃 懇談会