過去の体験学習

『素数は数えられそうか』
三河　寛　先生

素因数分解という言葉を聞いたのは中学生の頃だったでしょうか。経験的に各々の自然数は素数の積として表せ、この表示はひとつに決まります。つまり素数は積に関して自然数のベースになっていると考えられます。さて自然数は無限個ありますがそのベースとなっている素数は無限個あるでしょうか、それとも有限個なのでしょうか。紀元前に著されたユークリッド「原論」には素数が無限に存在することの証明が書かれているとか。そこで「指を折って数を数える」ように素数を数えていけるのかを考えてみましょう。 x を大きな正の実数とすると x 以下の自然数の個数は x と高々１しか違わないので、これはほぼ x であるといえます。では x 以下の素数の個数は x の関数としてどれくらいの大きさなのでしょう。いったいそんなことが分かるのでしょうか。

『曲線の微分トポロジー』
相山 玲子 先生

平面内で，滑らかな閉曲線に10円玉を接した状態で滑ることなく転がして一周させることができたとき，10円玉は自身の中心に対して何回転することになるでしょうか？閉曲線が10円玉と同じ周長の円ならば答えが「2」となることは、10円玉を2枚用意して試してみればわかるでしょう。 N 倍の周長の円ならば10円玉は「 N+1 」回転します。では、その円を長さを変えることなく変形したらどうなるでしょうか？曲線を平面上に置かれた紐とみなして、円周上にある（伸び縮みしない）紐を、平面から持ち上げたり尖ったところを作ったりすることなく、動かしてできる閉曲線を考えます。（ただし、できた閉曲線は自分自身と交わっているかもしれませんが。）このとき、問題の10円玉の回転数は（途中で多少行きつ戻りつするかもしれませんが）実は「 N+1 」のままです。その理由は、「平面上の閉曲線の回転指数が滑らかな変形に対して不変である」というトポロジー（位相幾何）の定理に基づいて説明できます。円の回転指数は「1」で、問題の10円玉の回転数は「回転指数＋周長比 N 」となるのです。この講義では、閉曲線の位相不変量である回転指数をとりあげ、曲線の微分幾何的量である曲率との関係や、高さ関数の極大・極小点を数え上げて回転指数を計算する方法などを紹介します。

　9:15 ～　9:30 受付

　9:30 ～　9:40 自然学類長挨拶及び事務連絡

　9:50 ～ 11:20講義『素数は数えられそうか』 三河 寛

11:20 ～ 13:00 昼食・学内見学

13:00 ～ 14:30講義『曲線の微分トポロジー』 相山 玲子

14:30 ～ 15:45 在学生との懇談会

15:45 ～ 17:00 質問に答える時間・まとめ

『無限の彼方』
塩谷 真弘 先生

１，２，３，・・・ のその先はどうなっているか考えたことがありませんか。もしかして ∞ ？ 正解。じゃあ ∞ のその先は？えっ ∞ のその先なんてあるの？ ・・・「あった方が面白い」は無理でも「あっても面白い」くらいには思ってもらえるような講義にしたいと思っています。

『万有引力の法則とフックの法則』
磯崎 洋 先生

今、高校では微分積分は習いますが、微分方程式は習いません。しかし微分方程式こそ自然界の基礎なのです。ニュートンは万有引力の法則を発見し、惑星の運行は逆２乗の力の項をもった微分方程式に従っていることを示しました。これがこの世界の基本法則です。ニュートンとほぼ同時代の人でフックという人がいます。フックはばねの力によって動く物体の運動法則を発見していました。万有引力の法則とフックの法則は違った法則なのですが、軌道を描いてみるとどちらも楕円です。違った法則なのに軌道は同じというのはなんとなく不思議です。ところが複素数を使った変換をしてみると、両者が互いにうつりあうことが分かります。ニュートンの運動方程式を解くのは高校の範囲では大変です。しかしフックの法則は三角関数だけで理解できますから、三角関数と複素数を使って惑星の運動を調べてみましょう。計算が難しくなったらコンピュータの助けを借りて運動の様子を目で見ましょう。意外なところからの数学、力学、コンピュータへの入門講義です。

　 9：15　受付

　9：30　自然学類長あいさつ、事務連絡

10：00　講義　『無限の彼方』 塩谷真弘

12：00　昼休み

13：00　講義　『万有引力の法則とフックの法則』 磯崎洋

15：00　在学生との懇談会

16：30　修了証授与

『ｐ-進世界へようこそ』
山崎 隆雄 先生

いち, にい, さん……と続く数が「自然数」、そこにゼロやマイナスも含めたのが「整数」、２／３などの分数まで加えて「有理数」です。このように数の世界はどんどん広がってゆきました。さらに広い数の世界として、円周率 π などを含む「実数」や、マイナス１の平方根まで含む「複素数」のこともみなさんはご存じかもしれません。

この講義では、「実数」と平行して存在する「p-進数」と呼ばれる新たな数の世界をご案内します。新世界を訪れるときは誰もが感じるように、始めはこの「p-進世界」も奇妙な世界に見えるでしょうが、最後には p-進世界も（実数世界と同じく）豊かな面白い世界だということを体験していただきたいと思います。

『ギャンブルの数学』
笠原 勇二 先生

確率というと皆さんは「ああ、あのジャンケンとか赤玉・白玉、あるいはトランプが出てくるやつか」と思うかもしれません。しかし高校までに習う「確率」は実は確率そのものよりも順列組み合わせの話がほとんどなのです。ですから大学の確率論では順列組み合わせの話はあまり出てきません。順列組み合わせが苦手の人も安心してください。

では大学の確率論では何をするかと言えば、自然現象や経済等に現れる偶然現象を数学的に厳密に定式化して議論してみようということです。世の中には競馬競輪といったギャンブルに縁の無い人でも、何かの決断をするときに、運不運を考慮せざるを得ない場面は多いと思います。どこの大学を受験しようかとか、今日は傘を持って出るべきかとか。そのような場合、確率論は魔法のように正解を教えてくれるわけではありませんが、何が合理的かを教えてくれます。偶然がからむ場面では、運の良い者と合理的な者が得をし、 不運な者と不合理な者が損をします。運の方は仕方がありませんから、何が合理的かについて考えたいと思います。

10:00 ～ 12:00講義p-進世界へようこそ (山崎隆雄先生)

12:00 ～ 13:00昼休み学生食堂などに案内します

13:00 ～ 15:00講義ギャンブルの数学 (笠原勇二先生)

15:00 ～ 16:30放課後おやつ ＋ 在学生との懇談会

16:30 終了証授与 写真撮影

『切ったり貼ったり　――　デーンの定理とその周辺　――』
坂井 公 先生

10:00 ～ 12:00 講義　 切ったり貼ったり　―　デーンの定理とその周辺　―（坂井 公）

12:00 ～ 13:00 昼休み　学生食堂などに案内します

13:00 ～ 15:00 演習　坂井 公 先生と在学生

15:00 ～ 16:30 放課後　在学生との懇談会

16:30 終了証授与 写真撮影 感想

『連立方程式の応用―スプライン曲線と温度分布―』
田崎 博之 先生

スプライン曲線はコンピュータグラフィックスなどで利用されている曲線です。平面に順番を付けた点をプロットし、これらの点を順番通りに通っていく滑らかな曲線を描こうというのが、スプライン曲線の目的です。点を順番通りに通っていく滑らかな曲線ということが、この場合の望む条件になります。そして、そのような曲線を見つけようとすると、連立方程式が現れます。

次は温度分布です。金属の板の一部に熱いものが触れているときに、その板の温度の分布はどうなっているでしょうか。温度は場所によって違いますし、時間によっても変化しますが、時間が経過すると同じ場所の温度は変化しなくなります。この場合、一点のまわりの温度の平均がその点の温度に一致します。金属の板の上に細かい格子を描いて、まわりの点の温度の平均がその点の温度になるということを板全体で考えると連立方程式になります。

どちらの場合も微分の考え方が基礎にあって連立方程式が導かれるのですが、なるべく直感に訴えるわかりやすい説明を心掛けます。

　
　　２００７年８月３日（金）筑波大学１E棟４階

９：１５～９：３０　　　受付　１D２０１前

９：３０～９：４０　　　実行委員長(数学類長）挨拶及び事務連絡　１D２０１

９：４０～９：５０　　　講義の行われる教室（１E棟４階）に移動

９：５０～１１：５０　　講義と演習
　　　　　　　　　　　　連立方程式の応用―スプライン曲線と温度分布―
　 　　　　　 　　　　　　講師　田崎　博之　准教授
　　　　　　　　　　　　　演習は在学生が補助

１１：５０～１３：００　昼休み　学生食堂などに案内します

１３：００～１５：００　講義と演習
　　　　　　　　　　　　連立方程式の応用―スプライン曲線と温度分布―
　 　　　　　 　　　　　　講師　田崎　博之　准教授
　　　　　　　　　　　　　演習は在学生が補助

１５：００～１６：３０　放課後　在学生との懇談会

１６：３０～１７：００　写真撮影　感想をひと言