過去の体験学習

『ｐ-進世界へようこそ』
山崎 隆雄 先生

いち, にい, さん……と続く数が「自然数」、そこにゼロやマイナスも含めたのが「整数」、２／３などの分数まで加えて「有理数」です。このように数の世界はどんどん広がってゆきました。さらに広い数の世界として、円周率 π などを含む「実数」や、マイナス１の平方根まで含む「複素数」のこともみなさんはご存じかもしれません。

この講義では、「実数」と平行して存在する「p-進数」と呼ばれる新たな数の世界をご案内します。新世界を訪れるときは誰もが感じるように、始めはこの「p-進世界」も奇妙な世界に見えるでしょうが、最後には p-進世界も（実数世界と同じく）豊かな面白い世界だということを体験していただきたいと思います。

『ギャンブルの数学』
笠原 勇二 先生

確率というと皆さんは「ああ、あのジャンケンとか赤玉・白玉、あるいはトランプが出てくるやつか」と思うかもしれません。しかし高校までに習う「確率」は実は確率そのものよりも順列組み合わせの話がほとんどなのです。ですから大学の確率論では順列組み合わせの話はあまり出てきません。順列組み合わせが苦手の人も安心してください。

では大学の確率論では何をするかと言えば、自然現象や経済等に現れる偶然現象を数学的に厳密に定式化して議論してみようということです。世の中には競馬競輪といったギャンブルに縁の無い人でも、何かの決断をするときに、運不運を考慮せざるを得ない場面は多いと思います。どこの大学を受験しようかとか、今日は傘を持って出るべきかとか。そのような場合、確率論は魔法のように正解を教えてくれるわけではありませんが、何が合理的かを教えてくれます。偶然がからむ場面では、運の良い者と合理的な者が得をし、 不運な者と不合理な者が損をします。運の方は仕方がありませんから、何が合理的かについて考えたいと思います。

10:00 ～ 12:00講義p-進世界へようこそ (山崎隆雄先生)

12:00 ～ 13:00昼休み学生食堂などに案内します

13:00 ～ 15:00講義ギャンブルの数学 (笠原勇二先生)

15:00 ～ 16:30放課後おやつ ＋ 在学生との懇談会

16:30 終了証授与 写真撮影

『無限の彼方』
塩谷 真弘 先生

１，２，３，・・・ のその先はどうなっているか考えたことがありませんか。もしかして ∞ ？ 正解。じゃあ ∞ のその先は？えっ ∞ のその先なんてあるの？ ・・・「あった方が面白い」は無理でも「あっても面白い」くらいには思ってもらえるような講義にしたいと思っています。

『万有引力の法則とフックの法則』
磯崎 洋 先生

今、高校では微分積分は習いますが、微分方程式は習いません。しかし微分方程式こそ自然界の基礎なのです。ニュートンは万有引力の法則を発見し、惑星の運行は逆２乗の力の項をもった微分方程式に従っていることを示しました。これがこの世界の基本法則です。ニュートンとほぼ同時代の人でフックという人がいます。フックはばねの力によって動く物体の運動法則を発見していました。万有引力の法則とフックの法則は違った法則なのですが、軌道を描いてみるとどちらも楕円です。違った法則なのに軌道は同じというのはなんとなく不思議です。ところが複素数を使った変換をしてみると、両者が互いにうつりあうことが分かります。ニュートンの運動方程式を解くのは高校の範囲では大変です。しかしフックの法則は三角関数だけで理解できますから、三角関数と複素数を使って惑星の運動を調べてみましょう。計算が難しくなったらコンピュータの助けを借りて運動の様子を目で見ましょう。意外なところからの数学、力学、コンピュータへの入門講義です。

　 9：15　受付

　9：30　自然学類長あいさつ、事務連絡

10：00　講義　『無限の彼方』 塩谷真弘

12：00　昼休み

13：00　講義　『万有引力の法則とフックの法則』 磯崎洋

15：00　在学生との懇談会

16：30　修了証授与

『素数は数えられそうか』
三河　寛　先生

素因数分解という言葉を聞いたのは中学生の頃だったでしょうか。経験的に各々の自然数は素数の積として表せ、この表示はひとつに決まります。つまり素数は積に関して自然数のベースになっていると考えられます。さて自然数は無限個ありますがそのベースとなっている素数は無限個あるでしょうか、それとも有限個なのでしょうか。紀元前に著されたユークリッド「原論」には素数が無限に存在することの証明が書かれているとか。そこで「指を折って数を数える」ように素数を数えていけるのかを考えてみましょう。 x を大きな正の実数とすると x 以下の自然数の個数は x と高々１しか違わないので、これはほぼ x であるといえます。では x 以下の素数の個数は x の関数としてどれくらいの大きさなのでしょう。いったいそんなことが分かるのでしょうか。

『曲線の微分トポロジー』
相山 玲子 先生

平面内で，滑らかな閉曲線に10円玉を接した状態で滑ることなく転がして一周させることができたとき，10円玉は自身の中心に対して何回転することになるでしょうか？閉曲線が10円玉と同じ周長の円ならば答えが「2」となることは、10円玉を2枚用意して試してみればわかるでしょう。 N 倍の周長の円ならば10円玉は「 N+1 」回転します。では、その円を長さを変えることなく変形したらどうなるでしょうか？曲線を平面上に置かれた紐とみなして、円周上にある（伸び縮みしない）紐を、平面から持ち上げたり尖ったところを作ったりすることなく、動かしてできる閉曲線を考えます。（ただし、できた閉曲線は自分自身と交わっているかもしれませんが。）このとき、問題の10円玉の回転数は（途中で多少行きつ戻りつするかもしれませんが）実は「 N+1 」のままです。その理由は、「平面上の閉曲線の回転指数が滑らかな変形に対して不変である」というトポロジー（位相幾何）の定理に基づいて説明できます。円の回転指数は「1」で、問題の10円玉の回転数は「回転指数＋周長比 N 」となるのです。この講義では、閉曲線の位相不変量である回転指数をとりあげ、曲線の微分幾何的量である曲率との関係や、高さ関数の極大・極小点を数え上げて回転指数を計算する方法などを紹介します。

　9:15 ～　9:30 受付

　9:30 ～　9:40 自然学類長挨拶及び事務連絡

　9:50 ～ 11:20講義『素数は数えられそうか』 三河 寛

11:20 ～ 13:00 昼食・学内見学

13:00 ～ 14:30講義『曲線の微分トポロジー』 相山 玲子

14:30 ～ 15:45 在学生との懇談会

15:45 ～ 17:00 質問に答える時間・まとめ

[代数] 『定規とコンパスによる作図』
藤田尚昌

定規とコンパスを使って「角の２等分線」をどうやって引くか、皆さんは中学生のとき習ったと思います。しかし、“定規とコンパスを使って「角の３等分線」をどうやって引くか？”という問題は、古代ギリシャ以来の難問の一つとして知られていましたが、1837年Wantzelという人によって「角の3等分線は引けない」ことが証明されました。大学では、3年次の代数学の講義で、体論を学びます。この作図不可能性の証明は、体論の１つの応用として簡単に与えられます。ここでは、その証明を平易に解説し、体論の一端に触れたいと思います。

[幾何] 『楽しい結び目・絡み目の数学』
金戸武司

日常生活でも身近に見られる結び目・絡み目現象は数学的対象としても興味深く、様々な研究が行われてきた。数学では閉じたものを考える。即ち、空間内の（太さのない）閉じたひも（＝単純閉曲線）を結び目、何本かの結び目の集まりを絡み目といい、結び目は絡み目の一種とみなす。２つの絡み目について、一方を（曲げたり、伸ばしたり、縮めたり）自由に空間内で動かして他方に重ね合せられるとき、結び方・絡み方は本質的に同じとみなし、２つの絡み目は同値であるという。２つの異なる絡み目の区別には、同値な絡み目に対して変わらない量（＝絡み目不変量）が有効である。その例として、Conway 多項式と Jones 多項式を取り上げ、計算法と後者の簡単な別証を紹介し、また、結び目をひもで作り、手品風変形を楽しむ。

[解析] 『応用数学における微分方程式入門』
山崎　満

現代、応用する立場の人々から見た数学を捉えてみましょう。その1例として、ここでは微分方程式を取り上げますが、予備知識としては、簡単な多項式の微分がわかれば十分です。そのなかでも、指数関数の別の定義の仕方を導出することによって、指数関数の性質を別な方法で導き出すことができます。この別な方法は、高校で習う方法よりも、ときとしてスッキリした形で表わされることがありますので、そのいくつかを見てみましょう。また、今までは数の指数関数、つまり、1次元ベクトル（スカラー）の指数関数を見て来ました。現代数学では、この概念を拡張して、n次元ベクトルの指数関数や無限次元の指数関数さらに非線形の指数関数が定義されます。こうした新しい数学が、間接的に天気予報や航空機の設計に役立っております。

[情報] 『いくつかのものを統計的に比較してみよう』
青嶋　誠

皆さんは学校で「統計」を勉強しているかも知れませんね。高校までの範囲では、正規分布の母平均に対する信頼区間を作ることが、ゴールになっています。よく読むと、母平均の信頼区間を作るために、どうやら、母分散の値は分かっていることを仮定しています。母分散の値が分からない場合、信頼区間はどうやって作ったらよいのでしょうか？また、２つの母平均の差に対して信頼区間を作りたい場合、どうしたらよいのでしょう？２クラスのデキを平均点で比較する場合が、これに当たります。３つ以上の母平均を、それぞれ対にして比較したい場合は、どうすればよいのでしょう？単純に２つの母平均の差の信頼区間を繰り返して作ればよいのでしょうか？この辺の議論に、数学が使われるのです。

平成13年7月28日(土)

　9:30-- 9:50 受付

　9:50--10:00 事務連絡

10:00--10:15 学類長挨拶 斎藤 功 学類長

10:30--12:00講義『定規とコンパスによる作図』 藤田 尚昌

12:00--13:00 昼食

13:00--14:00 学内施設見学

14:00--15:30講義『楽しい結び目・絡み目の数学』 金戸 武司

15:30--17:00 質問に答える時間 本橋 信義　他

7月29日(日)

　9:00--10:30講義『応用数学における微分方程式入門』 山崎 満

10:30--12:00講義『いくつかのものを統計的に比較してみよう』 青嶋 誠

12:00--13:00 昼食

13:00--14:30 学生との懇談会 涌井英幸、小島紫津香他

14:30--16:00 まとめ（各先生の部屋で）　

[代数] 『ベクトル空間のお話』
加藤豊紀

諸君は“ベクトル”について既に学んでいることでしょう。しかし、“ベクトル空間”という言葉にはおそらく初耳の方も多いのではないかと思います。ここでは“ベクトルの全体”を“空間”として捉えられることを 学びます。先ず、ベクトル空間の定義と例から始め、“ベクトルの一次独立性”、“空間の生成系”と“空間の次元”についてお話します。

[幾何] 『結び目理論入門』
川村一宏

伸び縮みが自由にできる一本の紐を適当に結んで、両端を閉じたものを結び目といいます。 結び目はごく身近なありふれたものですが、これを扱う数学はとても豊かな内容をもっています。 今回は皆さんを、結び目理論の入口まで御案内します。

[解析] 『微分方程式とケプラーの法則』
土居伸一

太陽のまわりの惑星の運動に関してケプラーは次の3つの法則を発見した。（第1法則）惑星の軌道は太陽を焦点とする楕円である。（第2法則）太陽と惑星を結ぶ線分が単位時間に通過する面積は一定である。（第3法則）惑星の楕円運動について公転周期の2乗は長軸の3乗に比例する。 一方ニュートンによると、太陽と惑星の間には、その距離の2乗に反比例し、その2つの質量の積に比例する引力が互いに働いている（万有引力の法則）。この講義では、万有引力の法則を仮定し、惑星と太陽に対するニュートンの運動方程式からケプラーの法則を導くことを目標としている。 ニュートンの運動方程式は微分方程式の代表例であり、その解析を通して微分方程式、さらには解析学の面白さを伝えたい。

[情報] 『数学的帰納法の原理』
本橋信義

この世の中に本当に正しいものがあるのだろうか、と疑ったことが ありませんか。デカルトという哲学者は、すべてを疑った末に、疑っている自分自身（という知性）の存在は疑い得ないと悟り、この悟りを最初の拠り所に一つの知の体系を作りました。「我思う、ゆえに我あり。」という彼の言葉がこの状況を端的に説明してます。では、数学という学問体系は本当に正しいのでしょうか。デカルトが知的活動としての学問全体に対して行った作業を、数学という特殊な学問に対して行ったとき、何が得られるでしょうか。数学のさまざまの原理を疑っていったときに、最後に残るものとして、私は数学的帰納法の原理を挙げたいと思います。数学的帰納法の原理は、現代数学の基本原理の一つです。ところが、残念なことに、高校数学では、この重要な数学的帰納法が、選択科目の「数学A」の数列のところで簡単に取り扱われているだけです。本講義では、まず、具体的な高校数学の教科書を取り上げます。そして、その教科書の中の数学的帰納法の記述に関する問題点を取り出します。次に、幾つかの言葉上の準備をした上で、問題点の解説をいたします。その過程で、数学的帰納法の原理が旨く説明できればと思います。さらに、皆さんが日常使われいる教科書にも、言葉の上での問題が いろいろあることに気付いていただけたらと思います。

平成12年3月20日(月)

　9:30-- 9:50 受付

　9:50--10:00 事務連絡

10:00--10:15 学類長挨拶 佐々木 建昭 学類長

10:30--12:00講義『結び目理論入門』 川村 一宏

12:00--13:00 昼食

13:00--14:30講義『ベクトル空間のお話』 加藤 豊紀

14:30--15:30 筑波大学における学生生活体験談　本学学生

15:30--17:00講義『数学的帰納法の原理』 本橋 信義

3月21日(火)

　9:30--11:00講義『微分方程式とケプラーの法則』 土居 伸一

11:00--12:00 筑波大学数学系の紹介　筧　知之

12:00--13:00 昼食

13:00--15:45 演習および懇談会（学内施設見学等）

15:45--16:00 まとめ