過去の体験学習

[代数] 『ベクトル空間のお話』
加藤豊紀

諸君は“ベクトル”について既に学んでいることでしょう。しかし、“ベクトル空間”という言葉にはおそらく初耳の方も多いのではないかと思います。ここでは“ベクトルの全体”を“空間”として捉えられることを 学びます。先ず、ベクトル空間の定義と例から始め、“ベクトルの一次独立性”、“空間の生成系”と“空間の次元”についてお話します。

[幾何] 『結び目理論入門』
川村一宏

伸び縮みが自由にできる一本の紐を適当に結んで、両端を閉じたものを結び目といいます。 結び目はごく身近なありふれたものですが、これを扱う数学はとても豊かな内容をもっています。 今回は皆さんを、結び目理論の入口まで御案内します。

[解析] 『微分方程式とケプラーの法則』
土居伸一

太陽のまわりの惑星の運動に関してケプラーは次の3つの法則を発見した。（第1法則）惑星の軌道は太陽を焦点とする楕円である。（第2法則）太陽と惑星を結ぶ線分が単位時間に通過する面積は一定である。（第3法則）惑星の楕円運動について公転周期の2乗は長軸の3乗に比例する。 一方ニュートンによると、太陽と惑星の間には、その距離の2乗に反比例し、その2つの質量の積に比例する引力が互いに働いている（万有引力の法則）。この講義では、万有引力の法則を仮定し、惑星と太陽に対するニュートンの運動方程式からケプラーの法則を導くことを目標としている。 ニュートンの運動方程式は微分方程式の代表例であり、その解析を通して微分方程式、さらには解析学の面白さを伝えたい。

[情報] 『数学的帰納法の原理』
本橋信義

この世の中に本当に正しいものがあるのだろうか、と疑ったことが ありませんか。デカルトという哲学者は、すべてを疑った末に、疑っている自分自身（という知性）の存在は疑い得ないと悟り、この悟りを最初の拠り所に一つの知の体系を作りました。「我思う、ゆえに我あり。」という彼の言葉がこの状況を端的に説明してます。では、数学という学問体系は本当に正しいのでしょうか。デカルトが知的活動としての学問全体に対して行った作業を、数学という特殊な学問に対して行ったとき、何が得られるでしょうか。数学のさまざまの原理を疑っていったときに、最後に残るものとして、私は数学的帰納法の原理を挙げたいと思います。数学的帰納法の原理は、現代数学の基本原理の一つです。ところが、残念なことに、高校数学では、この重要な数学的帰納法が、選択科目の「数学A」の数列のところで簡単に取り扱われているだけです。本講義では、まず、具体的な高校数学の教科書を取り上げます。そして、その教科書の中の数学的帰納法の記述に関する問題点を取り出します。次に、幾つかの言葉上の準備をした上で、問題点の解説をいたします。その過程で、数学的帰納法の原理が旨く説明できればと思います。さらに、皆さんが日常使われいる教科書にも、言葉の上での問題が いろいろあることに気付いていただけたらと思います。

平成12年3月20日(月)

　9:30-- 9:50 受付

　9:50--10:00 事務連絡

10:00--10:15 学類長挨拶 佐々木 建昭 学類長

10:30--12:00講義『結び目理論入門』 川村 一宏

12:00--13:00 昼食

13:00--14:30講義『ベクトル空間のお話』 加藤 豊紀

14:30--15:30 筑波大学における学生生活体験談　本学学生

15:30--17:00講義『数学的帰納法の原理』 本橋 信義

3月21日(火)

　9:30--11:00講義『微分方程式とケプラーの法則』 土居 伸一

11:00--12:00 筑波大学数学系の紹介　筧　知之

12:00--13:00 昼食

13:00--15:45 演習および懇談会（学内施設見学等）

15:45--16:00 まとめ　

[代数] 『円周率を巡る御伽噺』
増田哲也

円周率とは何ですか。よく知られているようで、実は、円周率をきちんと理解している人は少ないようです。実際、新しい指導要領では円周率は３としてよいことになる そうですから。そうするといろいろ不都合が生じるはずですが、どんな不都合が生じるかわかりますか。一方で、円周率は３でなく、3.14　だと信じている人がいます。さらに、円周率は　22/7　だと信じている人も世の中にはいます。子供がそう思って いるならいいのですが、いい大人でも、そう信じている人が案外いるのです。そこで、円周率の本当の姿をお見せしようと思います。ついでに、円周率にまつわる 様々な御伽噺ができればと思います。

[幾何] 『曲線の幾何学』
長友康行

高速道路などを走っていて、「R=50m」などという標識をコーナーで見た経験はないでしょうか？ あれは何を知らせているのでしょう？ この講義ではこのコーナーの「曲がり具合」を物理的体験をもとに数値化してみます。さらに、この数値化された「曲がり具合」が道路の形自体を決定してしまうということを解説します。「F1」を観戦する楽しみを増やしましょう。


　

[解析] 『「つむじ」の数を数えてみよう』
竹内　潔

気象衛星「ひまわり」などから撮った地球の写真を見ると必ずどこかに渦を巻いている地点（無風点）があるはずです。しかも不思議なことに無風点のまわりでの風向きの回転数を足すと必ず２という数になります。実はこの２という数は、地球すなわち２次元球面のオイラー数と呼ばれているものなのです。この講義ではトポロジー（位相幾何学）の入門と曲面上のベクトル場について解説します。ほとんどすべては絵を描いていくだけで証明出来てしまいます。高校の数学とは一風違った、大学の数学の自由さ、面白さが伝えられたらと思っています。

[情報] 『切ったり貼ったり－デーンの定理とその周辺－』
坂井　公

「平行四辺形の面積は底辺×高さ」、「三角形の面積は底辺×高さ÷２」，小学校で習うこれらの事実にあまり疑いを持った人はいないでしょう。なぜなら平行四辺形は，傾いて出っ張っている部分を切り取り，反対側に移動すると簡単に長方形に整形できるからです．また，三角形は，同じ形のものを２つ持ってくると，同じ底辺と高さを持つ平行四辺形が作れます。同じように「角柱の体積は底面積×高さ」というのも納得できるでしょう。でも、「円の面積は円周率×半径の２乗」、「球の体積は円周率×半径の３乗×４／３」、「角錐の体積は底面積×高さ÷３」はどうでしょう？ これらの説明には、普通，積分の考え方を使いますが、もっとすっきりした説明はできないのでしょうか？ 円や球はともかくとして，角錐はいくつか集めてきて切ったり貼ったりしたら納得のいく形に変形できないのでしょうか？ 今からほぼ１００年前、１９世紀最後の年にデーンという数学者がこの問題に答えを出しました。こういう問題に数学者がどういうふうに取り組むかをなるべく予備知識を仮定せずにお話します。

平成13年3月19日(月)

　9:30-- 9:50 受付

　9:50--10:00 事務連絡

10:00--10:15 学類長挨拶 佐々木 建昭 学類長

10:30--12:00講義『円周率を巡る御伽噺』 増田 哲也

12:00--13:00 昼食

13:00--14:00 学内施設見学

14:00--15:30講義『曲線の幾何学』 長友 康行

15:30--17:00 質問に答える時間 本橋 信義　他

3月20日(火)

　9:00--10:30講義『「つむじ」の数を数えてみよう』 竹内 潔

10:30--12:00講義「切ったり貼ったり－デーンの定理とその周辺－」 坂井 公

12:00--13:00 昼食

13:00--14:30 学生との懇談会 涌井英幸、小島紫津香他

14:30--16:00 まとめ　

[代数] 『定規とコンパスによる作図』
藤田尚昌

定規とコンパスを使って「角の２等分線」をどうやって引くか、皆さんは中学生のとき習ったと思います。しかし、“定規とコンパスを使って「角の３等分線」をどうやって引くか？”という問題は、古代ギリシャ以来の難問の一つとして知られていましたが、1837年Wantzelという人によって「角の3等分線は引けない」ことが証明されました。大学では、3年次の代数学の講義で、体論を学びます。この作図不可能性の証明は、体論の１つの応用として簡単に与えられます。ここでは、その証明を平易に解説し、体論の一端に触れたいと思います。

[幾何] 『楽しい結び目・絡み目の数学』
金戸武司

日常生活でも身近に見られる結び目・絡み目現象は数学的対象としても興味深く、様々な研究が行われてきた。数学では閉じたものを考える。即ち、空間内の（太さのない）閉じたひも（＝単純閉曲線）を結び目、何本かの結び目の集まりを絡み目といい、結び目は絡み目の一種とみなす。２つの絡み目について、一方を（曲げたり、伸ばしたり、縮めたり）自由に空間内で動かして他方に重ね合せられるとき、結び方・絡み方は本質的に同じとみなし、２つの絡み目は同値であるという。２つの異なる絡み目の区別には、同値な絡み目に対して変わらない量（＝絡み目不変量）が有効である。その例として、Conway 多項式と Jones 多項式を取り上げ、計算法と後者の簡単な別証を紹介し、また、結び目をひもで作り、手品風変形を楽しむ。

[解析] 『応用数学における微分方程式入門』
山崎　満

現代、応用する立場の人々から見た数学を捉えてみましょう。その1例として、ここでは微分方程式を取り上げますが、予備知識としては、簡単な多項式の微分がわかれば十分です。そのなかでも、指数関数の別の定義の仕方を導出することによって、指数関数の性質を別な方法で導き出すことができます。この別な方法は、高校で習う方法よりも、ときとしてスッキリした形で表わされることがありますので、そのいくつかを見てみましょう。また、今までは数の指数関数、つまり、1次元ベクトル（スカラー）の指数関数を見て来ました。現代数学では、この概念を拡張して、n次元ベクトルの指数関数や無限次元の指数関数さらに非線形の指数関数が定義されます。こうした新しい数学が、間接的に天気予報や航空機の設計に役立っております。

[情報] 『いくつかのものを統計的に比較してみよう』
青嶋　誠

皆さんは学校で「統計」を勉強しているかも知れませんね。高校までの範囲では、正規分布の母平均に対する信頼区間を作ることが、ゴールになっています。よく読むと、母平均の信頼区間を作るために、どうやら、母分散の値は分かっていることを仮定しています。母分散の値が分からない場合、信頼区間はどうやって作ったらよいのでしょうか？また、２つの母平均の差に対して信頼区間を作りたい場合、どうしたらよいのでしょう？２クラスのデキを平均点で比較する場合が、これに当たります。３つ以上の母平均を、それぞれ対にして比較したい場合は、どうすればよいのでしょう？単純に２つの母平均の差の信頼区間を繰り返して作ればよいのでしょうか？この辺の議論に、数学が使われるのです。

平成13年7月28日(土)

　9:30-- 9:50 受付

　9:50--10:00 事務連絡

10:00--10:15 学類長挨拶 斎藤 功 学類長

10:30--12:00講義『定規とコンパスによる作図』 藤田 尚昌

12:00--13:00 昼食

13:00--14:00 学内施設見学

14:00--15:30講義『楽しい結び目・絡み目の数学』 金戸 武司

15:30--17:00 質問に答える時間 本橋 信義　他

7月29日(日)

　9:00--10:30講義『応用数学における微分方程式入門』 山崎 満

10:30--12:00講義『いくつかのものを統計的に比較してみよう』 青嶋 誠

12:00--13:00 昼食

13:00--14:30 学生との懇談会 涌井英幸、小島紫津香他

14:30--16:00 まとめ（各先生の部屋で）　

『多変数関数の微分と積分』
南　就将 先生

ある範囲を動く数 x に別の数 y を対応させる規則あるいは「しかけ」を「関数」といいます。高校では２次関数、三角関数、指数関数、対数関数などを学びます。一方、２つの数の組 (x,y) に別の数 z を対応させる関数（多変数関数）も当然考えられます。地図上の一点（それは緯度 x と経度 y との組 (x,y) で表される）にその地点の標高 z を対応させる関数などを考えれば、多変数の関数が科学のあらゆる局面で不可欠であることが容易に理解されるでしょう。と同時に多変数の関数に対する微分、積分はどのように考えればよいかという問題が生じます。この講義では、大学の微積分で本格的に学ぶ偏微分と重積分の初歩を解説しながら、多変数の関数に対する想像力を養っていただこうと思っています。

『曲がった空間―曲率は全てを語る』
山口 孝男 先生

曲線や曲面、そしてより高次元の“曲面”を総称して空間と呼びます。空間の曲がり具合を表す曲率という概念を定めて、曲がった空間を考察することは重要な空間認識の方法を与えます。曲率を通していろいろな空間を理解できる、という話しです。例えば、遊園地で 回転する乗物に乗っているときに、目を閉じていても何回まわったか理解できます。また、万一あなたが誘拐されて眼隠しされて車でどこかに連れて行かれたとしても、最終地点を理解できます（勿論そのようなことの無いよう十分気をつけましょう）。数学的には、これらは全て、曲線の曲がり具合を表す曲率といもので説明することが出来ます。そう、曲率は全てを語るのです。

『非可換の世界を覗いてみよう』
星野 光男 先生

あまり意識したことはないと思いますが、我々が扱っている数（実数または複素数）というのは「掛け算の順序が交換可能である」という著しい性質を持っています。つまり、我々は可換の世界で暮らしているわけです。従って、非可換の世界（即ち、掛け算の順序が交換可能でない様な数を基にした世界）においては、我々の常識が必ずしも通用しないという事態が起こり得ます。実際、可換から遠く離れた世界では、ちょっと想像出来ない様な現象が起こります。ここでは、非可換の世界をほんのちょっとだけ覗いてみることにします。

『民主主義国家構築のために』
坪井 明人 先生

議員の集合を I とし、I のべき集合（ I の部分集合全体）の部分集合 F を一つ定めます。 F に属する A を多数派とよびましょう。さらに、A または A の補集合のいずれかは多数派になり、両方が多数派にはならないなどいくつかの条件をおきます。

（＊）法案１の賛成者は多数派なので可決され、法案２も可決されました。
よって、両法案に賛成の人が多数派です。

上の議論は正しいですか？正しくないと思う人が多数派でしょう。しかし「多数」という語感から離れますが、上の議論を正しくする「多数」があります。それは、独裁者が賛成することを「多数」と定義する時です。I が有限の場合は（＊）を成立させるにはどうしても独裁者が必要です。しかし、I が無限ならば独裁者のいない国家が存在します。皆で民主主義を守ろう。

　平成14年7月27日(土)

　9:30-- 9:50 受付

　9:50--10:00 事務連絡

10:00--10:15 学類長挨拶 斎藤 功 学類長

10:30--12:00講義『多変数関数の微分と積分』 南 就将

12:00--13:00 昼食

13:00--14:00 学内施設見学

14:00--15:30講義『曲がった空間―曲率は全てを語る』 山口 孝男

15:30--17:00 質問に答える時間 藤田 尚昌 他

7月28日(日)

　9:00--10:30講義『非可換の世界を覗いてみよう』 星野 光男

10:30--12:00講義『民主主義国家構築のために』 坪井 明人

12:00--13:00 昼食

13:00--14:30 学生との懇談会

14:30--16:00 まとめ（各先生の部屋で）

『素数は数えられそうか』
三河　寛　先生

素因数分解という言葉を聞いたのは中学生の頃だったでしょうか。経験的に各々の自然数は素数の積として表せ、この表示はひとつに決まります。つまり素数は積に関して自然数のベースになっていると考えられます。さて自然数は無限個ありますがそのベースとなっている素数は無限個あるでしょうか、それとも有限個なのでしょうか。紀元前に著されたユークリッド「原論」には素数が無限に存在することの証明が書かれているとか。そこで「指を折って数を数える」ように素数を数えていけるのかを考えてみましょう。 x を大きな正の実数とすると x 以下の自然数の個数は x と高々１しか違わないので、これはほぼ x であるといえます。では x 以下の素数の個数は x の関数としてどれくらいの大きさなのでしょう。いったいそんなことが分かるのでしょうか。

『曲線の微分トポロジー』
相山 玲子 先生

平面内で，滑らかな閉曲線に10円玉を接した状態で滑ることなく転がして一周させることができたとき，10円玉は自身の中心に対して何回転することになるでしょうか？閉曲線が10円玉と同じ周長の円ならば答えが「2」となることは、10円玉を2枚用意して試してみればわかるでしょう。 N 倍の周長の円ならば10円玉は「 N+1 」回転します。では、その円を長さを変えることなく変形したらどうなるでしょうか？曲線を平面上に置かれた紐とみなして、円周上にある（伸び縮みしない）紐を、平面から持ち上げたり尖ったところを作ったりすることなく、動かしてできる閉曲線を考えます。（ただし、できた閉曲線は自分自身と交わっているかもしれませんが。）このとき、問題の10円玉の回転数は（途中で多少行きつ戻りつするかもしれませんが）実は「 N+1 」のままです。その理由は、「平面上の閉曲線の回転指数が滑らかな変形に対して不変である」というトポロジー（位相幾何）の定理に基づいて説明できます。円の回転指数は「1」で、問題の10円玉の回転数は「回転指数＋周長比 N 」となるのです。この講義では、閉曲線の位相不変量である回転指数をとりあげ、曲線の微分幾何的量である曲率との関係や、高さ関数の極大・極小点を数え上げて回転指数を計算する方法などを紹介します。

　9:15 ～　9:30 受付

　9:30 ～　9:40 自然学類長挨拶及び事務連絡

　9:50 ～ 11:20講義『素数は数えられそうか』 三河 寛

11:20 ～ 13:00 昼食・学内見学

13:00 ～ 14:30講義『曲線の微分トポロジー』 相山 玲子

14:30 ～ 15:45 在学生との懇談会

15:45 ～ 17:00 質問に答える時間・まとめ