過去の体験学習

過去の体験学習

年度 平成30年度
日付 2018年8月10日(金)
概要

「整数に関する有名な問題」 金子 元 先生

 整数は、数の中でも最も基本的なものです。特に、0以上の整数は算数において最初に学習されます。しかしながら歴史上の観点から見ると、整数は数千年もの間多くの数学者により研究され続けています。一見すると簡単な対象に見える整数について、まだわかっていないことが多いというと、驚かれるかもしれません。この体験学習では整数に関して、歴史上有名な問題を紹介したいと思います。特に、17世紀のフランスの数学者であるフェルマーが提案した問題についてテーマとして扱い、手計算を通じて整数論の考え方を学びます。
 歴史上、整数論に関して記述のある文献として、ディオファントスが書いた「算術」(3世紀に書かれたといわれています)が重要です。フェルマーはこの本を読み、独自の研究を進めました。彼は自分が得た結果に関する48個ものメモを証明なしで本の余白に書きました。この余白の中には「フェルマーの最終定理」と呼ばれる大変難しい問題もあります(問題が解かれるまでに、約360年もの年月が要されました)。フェルマーの最終定理以外の有名なメモとして、整数の平方数の和に関する問題があります。例えば、5=1×1+2×2のように、5は2つの平方数(1×1と2×2)の和で表すことができます。一方、3は二つの平方数の和で表すことができません。フェルマーは、素数について、平方数の和で表すことができるための条件を見つけました。本講演では、この条件について考察をします。
 平方数の和に関する上記の問題を解くためには、整数に関する割り算の余りが重要な役割を果たします。整数に関する割り算の余りは、小学生の時に習ったと思います。体験学習では、整数で割った余りを通じて、剰余環と呼ばれるものを紹介します。剰余環という言葉は難しそうに聞こえるかもしれませんが、本質的には整数を割った余りを記述したものです。この概念は、現代数学においても重要です。
 また、体験学習では上記以外にも様々な有名な問題を紹介したいと思います。整数は身近で扱われているにもかかわらず、未知の部分も多く、魅力的なものです。さらに整数論で学ぶ技法は、整数以外の対象への応用も持ちます。例えば、整数で割った余りについては、暗号理論など情報理論への応用があることが知られています。


プログラム
8月10日(金)第1エリア1E401
9:30     受付開始
10:00~11:30 講義と演習  「整数に関する有名な問題」  講師: 金子 元 助教
11:30~13:30 昼食 昼休み
13:30~15:00 講義と演習  「整数に関する有名な問題」  講師: 金子 元 助教
15:10~16:20 懇談会・修了セレモニー

年度 平成29年度
日付 2017年8月7日(月)
概要

「無限を数える」 竹内耕太 先生

数学の一番の基本は数を数えるということかもしれません。例えば小学校で初めて足し算をならったとき、かごの中に2つのりんご、箱の中に3つのみかんが入っている図を見て、全部で何個になるか「数えた」のではないでしょうか。
 ではもし箱の中に無限個のモノが入っていたら、それを数えるということはいったいどういうことだと考えたらいいのでしょうか?無限個のモノが2グループあったとき、どちらのほうが沢山あるか決めることは出来るのでしょうか?
 この問題は19世紀後半から20世紀初頭にかけて活躍した数学者ゲオルグ・カントールが考えた集合論と深いかかわりがあります。集合論は、数学に出てくる数や図形といったものがもつ「大きさ」「計算規則」「形」といった様々な属性を忘れて、それらを単なる点や点の集まりだと捉えてその性質を調べる理論です。例えばりんごとみかんの例では、「りんご or みかん」「箱 or かご」ということを無視して個数を数えているのです。
 有限の世界では「モノの数」は普段の日常のイメージ通りの法則に従っていますが、無限の世界を扱うようになると途端にとても不思議で面白い現象が沢山みつかります。以下のクイズを考えてみてください。

  1. 二本の実数の数直線I、Jを想像してください。Iから整数点を、Jから有理数点を取り除きます。その後、それぞれ一方から取り除いた点を他方の数直線に開いた穴に適当に一つずつはめ込みます。点を過不足無く使い、数直線I,Jが元通り復元されるようなはめ込み方を考えてください。
  2. 次のような操作を見つけてください:円周Sを二つの集合A,Bに分割し、Aから点を100万個取り除きます。点が取り除かれたA,Bを形を保ったまま適当に動かして(平行移動、回転など)組み合わせるともとの円周Sが復元されます。
  3. xy平面の原点, (1,0), (1,1), (0,1)を頂点に持つ正方形Aを考えます。Aの内部の点(a,b)でa,bがともに有理数の点は穴が開いているとします。今、一辺の長さが0.5の正方形の紙Bを考えます。はさみでBから複数の長方形(大きさは様々でよい)を順に切り出しそれらをAの上に適当に貼り、Aの穴が全部隠れて見えなくなるようにしてください。(有限個の長方形では不可能ですが・・・)

この体験学習では、ものを数えるということを一から考え直すことによって無限個の対象を扱う方法に触れ、その不思議を実感してもらいたいと思います。無限を自由に想像できるようになったときあなたの見えている世界はもっと奇妙で豊かなものになるでしょう。


プログラム
8月7日(月)総合研究棟B112
9:30     受付開始
10:00~11:30 講義と演習「無限を数える」 講師:竹内耕太 助教
11:30~13:30 昼食 昼休み(学食等にご案内します.昼食代を持参して下さい.)
13:30~15:00 講義と演習「無限を数える」 講師:竹内耕太 助教
15:10~16:20 懇談会・修了セレモニー(修了証をお渡しします.)


年度 平成28年度
日付 2016年8月12日(金)
概要

「宇宙の形と結び目の不思議」 石井 敦  先生

事前掲載概要:
 結び目理論とよばれる数学の理論があります。出かける前に靴ひもを結んだり、イヤホンのひもを結んで保管したり、ダンボールや新聞を縛って古紙回収に出したり、日常では様々な場面で結び目が現れます。

そんな日常にあふれた結び目は、数学で研究されています。これまでに学んできた数学からは、結び目がどうして数学と関係するのか、想像できないかもしれません。
一見、複雑に見える結び目でも、ほどけていることがあります。(ひもの両端を強く引っ張ると、ほどける結び目を作ったことはありませんか?)止め結びは、ひもで輪を作り、その輪の中にひもの片端を通すことで得られる結び目です。文章で書くと難しく感じますが、みなさん一度は作ったことがある簡単な結び目です。止め結びは、ひもの両端をどんなに強く引っ張ってもほどけません。
二つの結び目が与えられたとき、その二つの結び目が同じ結び目かどうか、どうやって判定したらいいでしょう?
ほどこうと1時間頑張って、ほどけなかったからと言って、本当にほどけない結び目でしょうか?もしかしたら、もう1時間頑張ったら、ほどけるかもしれません。でも本当に、ほどけない結び目だったら何時間頑張ってもほどけません。
数学では、結び目を理論的に扱うことができ、この無限に時間の掛かってしまう問題を回避することができます。結び目理論では代数、幾何、解析、何でも使います。様々な切り口からの研究が結び目理論を豊かにしています。
結ぶという現象のあるところ、結び目理論があります。
宇宙の形が結び目によって表されるということは驚きでしょうか?最近は、DNAやたんぱく質の性質と結び目との関係が研究されています。作用素環論という全く別の理論から結び目の不変量を構成したジョーンズはフィールズ賞を受賞しました。
今回の体験学習では、結び目理論の初歩に触れることで、高校までの数学からは想像の難しい、受験数学から解き放たれた自由な数学を体験することができればと思います。
プログラム
9:30 受付開始
10:00~11:30 講義と演習
11:30~13:00 昼食・昼休み (班ごとにお弁当を食べました。)
13:00~14:30  講義と演習
14:40~15:50 懇談会・修了セレモニー(修了証をお渡ししました。)
16:00~17:00 筑波大学中央図書館見学・学内散策
 
体験学習当日の様子: 参加者達はまず受付で一本の紐と,結び目の絵が描かれた紙を配布され,同じ結び目が描かれている席を自分で探すところから始まりました. 今回の体験授業の内容は結び目理論の入門講義です.数学でいう結び目とは,一本の紐を絡ませて両端をつなげたもので,ぐねぐねと変形させて同じ形になるものは全て同じ結び目とみなします. 

午前中の内容は配布された紐を指定された形に変形してみたり,絵を描いて考えたりと,実際に手を動かして考える課題が与えられました.生徒達は中学校や高校では習わない「トポロジー」の考え方に苦戦しながらも,グループで相談して問題を解こうと奮闘していました.

午後は多項式不変量を用いて結び目を区別する内容に入りました.ある2つの結び目が同じ結び目であることを示すには実際に変形できることを確かめればいいわけですが,異なる結び目で あることを示すには,「いくら頑張っても変形できない」というだけでは不十分です.そこで今回は結び目をあるルールに従って多項式で表し,その多項式を比べることで異なる結び目かどうかを判定しました.見たこともない数式に最初は皆さん面食らっている様子でしたが,TAの方を含め,周りと相談して取り組むことで解決できていました.

普段学校で習うような数学とは一味違う数学に触れ,数学とはいかに自由で楽しいものなのかを実感できる体験学習だったのではないかと思います.

 

年度 平成27年度
日付 2015年8月7日
概要
「図形の合同についての再考」  相山玲子 先生


高校生の皆さんは,小学校・中学校の算数・数学において,合同な図形の定義や性質を学んできていることと思います。2つの「図形」が『合同』であるとは,一方の図形を「移動」させて他方に重ね合わせることができる場合でした。この「平面図形」の『合同』の定義において,「移動」とは「平行移動」「回転移動」「対称移動」およびその組み合わせで「平面図形」を動かすことでした。では,なぜこの3つの「移動」を考えればよいのでしょうか?

1つの答えとしては, ”「長さ」を変えない動かし方”はこの3種類で表せるという理由が挙げられます。皆さんがこれまでに勉強してきた「図形」の話は,ほぼ,”「長さ」を変えない動かし方で重ね合わせられる「図形」は同じもの(『合同』)であるとする「幾何学」”です。”いくつもの図形の中から『合同』なものを選びなさい” という問題は, ”『合同』な図形は同じ仲間として, 与えられた図形を分類しなさい”という「幾何学」の問題だということができます。

しかし,実は「幾何学」は対象とする「図形」や「移動」のルールを変えることによって色々な種類があるのです!例えば,「平面図形」の「移動」を,先の3つの操作に「縮小拡大」をつけ加えたものとすると,前述の『合同』の定義は『相似』の定義だと読みかえることができ,”『相似』な図形は同じ仲間とする「幾何学」”が考えられることになります。(ここまでは,ユークリッド幾何とよばれる最も古典的な幾何学です。)

今回の体験学習では,「図形」を「(平面内の)点の集合」として考え,「移動」のルールを拡張あるいは変更して得られる「幾何学」(非ユークリッド幾何,位相幾何・・・) も紹介して,その変更された「移動」の操作も体験してもらいながら,「幾何学」の雰囲気を感じてもらいたいと思います。

   

   



昼休みの座談会
「カレーを片手に集って”微積分学成立前夜の微積分学”について語る。」
座談会講師: 西村 泰一 講師

昨年度の体験学習で皆さんに講義をした西村が17,18 世紀の微積分学と19 世紀以降の微積分学(高校の教科書は19 世紀以降のやり方に依拠して書かれています)の違いについてお話しします。また、参加される皆様には ”微積分学序説 - 数学に悟りをもとめて- ”という冊子を無料で差し上げます。
年度 平成26年度
日付 2014年8月7日
概要 「黄金期の微積分学」 講師:西村泰一 先生

微積分学の基礎を築いたのはニュートンですが、彼は17世紀の人物です。18世紀にはラグランジュやオイラーを始め、名だたる数学者がいます。17世紀や18世紀の微積分学は冪零無限小を用いて展開されていました。冪零無限小というのは何回か掛け合わせると0になってしまうような小さい実数です。何回か掛け合わせて0になるなら、もともとその数は0ではないかと思うかもしれませんが、こんな数が0以外にも一杯あるような世界で微積分学を楽しんでいたのです。喩えていうと、河童みたいなものですね。昔はどこの沼や川に行っても、河童は必ず見ることができたのですが、最近は河童の目撃談はあまり聞きませんね。どうも死に絶えてしまったようです。環境の変化についていけなかったのかもしれません。

19世紀になると、冪零無限小はいい加減という烙印を押されて追放され、かわって微積分学は極限を用いて展開されることになります。高校の教科書には極限の単元があり、その後に微分や積分の 単元がきますが、これはそうした19世紀の動きを踏まえてのものです。大学で数学を専攻すると、さらに悪名高いεーδでそれに箔をつけます。オイラーというのは、きわめて多産な数学者ですが、”彼がもしも εーδで論文を書かなければいけなかったとしたら、あんなに沢山の論文を書くことは、とてもできなかったであろう”とは、よく言われる話しです。

この講義では冪零無限小を用いた微積分学を楽しんでもらいます。それがいかに躍動感に満ちたものか、堪能してください。

      

      

      

      
年度 平成25年度
日付 平成25年8月9日
概要 『フェルマー予想の話』 木村健一郎 先生


フランスの数学者フェルマー(1601-1665)は、自分の持っていた本(ディオファントスの「数論」)の余白に次のような意味のことを書きました。

nが3以上のとき、$$x^n+y^n=z^n$$をみたす自然数$$x, y, z$$は存在しない」

また「私はこのことの真に驚嘆すべき証明を発見したが、この余白はそれを書くには狭すぎる」とも書いています。$$x^2+y^2=z^2$$をみたす自然数$$x,y,z$$は無数にあるのに、$$n$$が3になったとたんに一つも無くなってしまうのです。フェルマーは彼の「証明」を書き残しませんでした。そのためこの主張はフェルマー予想と呼ばれます。その後300年以上にわたりこれを証明しようと多くの試みがなされましたが、誰も成功しませんでした。しかしその努力が数学の進歩のきっかけとなったこともあります(クンマーなど)。

最終的に証明を与えたのは、アンドリュー・ワイルスで、1994年のことです。しかし彼は直接証明したわけではありません。実はその何年か前に、フライとリベットという人たちが、「谷山-志村予想」という予想が正しければフェルマー予想が正しいことを示しました。谷山-志村予想は、一言でいうと「有理数体上の楕円曲線はモジュラーである」というものです。ワイルスはテイラーという人の協力を得て、谷山-志村予想(の重要な場合)の証明に成功したのです。谷山-志村予想(ワイルスの定理)は、20世紀の数学が達した一つの頂点と言えるものです。この講義では、その内容の不思議さを、実例の計算を通して感じてもらいたいと思います。ワイルスの仕事は、20世紀の初めに高木貞治が証明した「類体論」をさらに進めた「非可換類体論」への一歩を踏み出したものと言えます。類体論についても具体例を計算してもらい、その雰囲気を感じてみたいと思います。

  

  

年度 平成24年度
日付 平成24年8月2日
概要
『面積を数えよう』
竹山 美宏 先生

私たちは, 小学校の算数で長方形や三角形, 平行四辺形などの面積の公式を学びました. どの公式も, 辺の長さや高さを足したり掛けたり2で割ったりするものですから, 面積を計算するためには(長さを)『測る』という操作が必要なはずです. ところが, ある世界では面積を『数えて』計算することができます.

舞台となるのは下の図のように点が等間隔に並んだ世界です. この点を頂点とする多角形を考えます.
 

点の間隔を1としましょう. すると, 左の三角形の底辺の長さは3, 高さは2ですから, 面積は3 \times 2 \times \frac{1}{2} = 3です. 右の四角形は正方形で, 一辺の長さは$$\sqrt{5}$$ですから, 面積は $$\sqrt{5} \times \sqrt{5}=5$$です. では, 下の多角形の面積はいくつでしょうか?

このように複雑な場合は, 普通に面積を計算すると大変です. 実は, 上の多角形の面積は次の式で求められます. 

3+¥frac{1}{2}¥times 13-1=¥frac{17}{2} 

この計算では, あるものを『数えて』面積を求めているのですが・・・. 

今回の体験学習では, 上の問題を通じて, 参加者のみなさんと一緒に数学の研究を疑似体験してみようと思います.      


   

  

   

年度 平成5年度
日付 平成6年3月21日(月)~22日(火)
概要


[代数] 『方程式とガロアの理論』
木村達雄


[解析] 『作用素の指数関数』
村松壽延


[情報] 『集合論帝国主義』
本橋信義


[幾何] 『微積分と等周問題』
高橋恒郎



 

 

平成6年3月21日(月)

 9:30-- 9:50 受付

10:00--10:20 江崎玲於奈学長特別講話『トンネルへの長い旅路』

10:30--12:00講義『方程式とガロアの理論』木村達雄

12:00--12:40 昼食

12:40--14:10 学内施設見学

14:10--15:40講義『作用素の指数関数』村松壽延

15:40--17:00 受講生・教官による談話会


3月22日(火)

 8:30-- 8:50 受付

 9:00--10:30講義『集合論帝国主義』本橋信義

10:30--12:00講義『微積分と等周問題』高橋恒郎

12:00--13:00 昼食

13:00--14:30 本学学生による学生生活体験談

14:30--16:00 まとめ

年度 平成6年度
日付 平成7年3月20日(月)~21日(火)
概要


[代数] 『方程式の解法と群(代数学入門)』
森田 純


[幾何] 『曲面とその曲率』
伊藤光弘


[解析] 『円周率πの計算』
若林誠一郎


[情報] 『コンピュータは因数分解をどう行うのか?』
佐々木建昭




平成7年3月20日(月)

 9:30-- 9:50 受付

10:00--10:30 木村達雄 教授『数学雑談』

10:30--12:00講義『方程式の解法と群(代数学入門)』森田 純

12:00--13:00 昼食

13:00--14:00 学内施設見学

14:00--15:30講義『曲面とその曲率』伊藤光弘

15:30--17:00 受講生・教官による談話会


3月21日(火)

 8:30-- 8:50 受付

 9:00-- 9:30 学長特別講話

 9:30--11:00講義『円周率πの計算』若林誠一郎

11:00--12:30講義『コンピュータは因数分解をどう行うのか?』佐々木建昭

12:30--13:10 昼食

13:10--14:40 本学学生による学生生活体験談

14:40--16:00 まとめ

年度 平成7年度
日付 平成8年3月19日(火)~20日(水)
概要


[代数] 『結び目と多項式』
竹内光弘


[幾何] 『柔らかい幾何(トポロジー)学入門』
加藤久男


[解析] 『確率で考える,確率を考える』
神田護


[情報] 『それってトウケイ?』
狩野 裕





平成8年3月19日(火)

 9:30-- 9:50 受付

10:00--10:30 学長特別講話

10:30--12:00 講義『結び目と多項式』竹内光弘

12:00--13:00 昼食

13:00--14:00 学内施設見学

14:00--15:30 講義『柔らかい幾何学(トポロジー)入門』加藤久男

15:30--17:00 受講生・教官による談話会


3月20日(水)

8:30-- 8:50 受付

9:00--10:30 講義『確率で考える,確率を考える』神田 護

10:30--12:00 講義『それってトウケイ?』狩野 裕

12:00--13:00 昼食

13:00--14:40 本学学生による学生生活体験談

14:40--16:00 まとめ