幾何学分野

図形の性質を対象とする幾何学は,有史以来,人々を魅了し続けています.皆さんの中には,単位円に内接する正三角形で囲まれた図形の面積を求めることができた時や,一見異なる2つの三角形が互いに合同であることを証明できた時の喜びをご記憶の方も多いのではないでしょうか.古くより人々に親しまれてきた幾何学は,数学の他の分野とはもちろんのこと,物理学などの自然科学とも相互に影響を与えながら発展してきました.今日では,視覚では捉えられない抽象的な図形も取り扱うようになり,その可能性をますます広げています.

大学で学ぶ現代的な幾何学は,図形のつながり方について調べる位相幾何学と,図形の曲がり方について調べる微分幾何学とに大別されます.両者の観点の違いについて,曲面を例に説明しましょう.位相幾何学の観点からは,オイラー数と呼ばれる曲面固有の不変量を用いて,曲面のつながり方を理解することができます.このオイラー数は,曲面を多面体に分割して,その頂点の数,辺の数,面の数を数え上げて計算することが可能です.微分幾何学の観点からは,ガウス曲率と呼ばれる曲面上の関数を用いて,曲面の曲がり方を把握することができます.このガウス曲率は,曲面を写像として捉え,それを適切に2回微分して計算することが可能です.ここで説明したオイラー数とガウス曲率は各々異なる観点に基づいて定まるものですが,ガウス・ボンネの定理によれば,「閉じた曲面上でガウス曲率を積分して得られる値が,その曲面のオイラー数の2π倍と等しい」のです.このように,位相幾何学と微分幾何学の間には深い関係があります.

数学類では,現代的な幾何学の基礎全般を学ぶことができます.位相幾何学の講義からは,位相空間論の基礎に始まり,ホモロジー論やホモトピー論などの代数的トポロジー,幾何学的トポロジーの初歩などが学べます.微分幾何学の講義からは,ベクトル解析の素養に基づき,曲面論や多様体論,多様体の微分幾何学の初歩などが学べます.幾何学の演習の授業では,理解度を深めるための問題演習が行われており,計算方法や論証方法を身につけ,種々の空間概念を把握することができます.セミナー形式の卒業研究では,教員の指導を受けながら,幾何学の様々な話題について詳しく学ぶことができます.

大学院では,現代的な幾何学の高度な理論について学びながら,専門性を高めることができます.さらに,個々のセミナー指導などを通じて,各自が興味を持つ対象について研究することができます.私たちの幾何学グループでは,以下に概説する分野を中心とした研究が行われています.

位相幾何学グループでは,一般位相幾何学(位相空間論および幾何学的トポロジー)と低次元位相幾何学(低次元多様体論や結び目理論など)を中心に研究が行われています.一般位相幾何学は,抽象的な位相空間や,ユークリッド空間内のあらゆる図形(野性的空間も含む)を研究対象とします.次元論や力学系理論など連続写像に関する様々な理論に基づき,抽象的な空間や複雑な図形の性質を研究する分野です.また低次元位相幾何学は,主に3次元もしくは4次元の多様体を舞台とし,その中の結び目やハンドル体などを研究対象とします.種々の不変量などを用いて,結び目などの性質を研究する分野です.

微分幾何学グループでは,部分多様体論(曲面論も含む)とリーマン幾何学(幾何解析も含む)を中心に研究が行われています.部分多様体論は,特定の空間内の曲面や部分多様体を研究対象とします,等質空間や対称空間の理論,調和写像の理論などに基づき,曲面や部分多様体が持つ性質を幾何学的,解析的,あるいは表現論的に研究する分野です.またリーマン幾何学は,リーマン多様体もしくは類似の構造を持つ距離空間を研究対象とします.曲率などの観点から,リーマン多様体などの空間の様々な構造を計量的,位相的,あるいは解析的に研究する分野です.

数学専攻には,こうした研究を行っている教員が揃っており,各種数学特別セミナー,講義,研究集会などを通じて様々な数学を学ぶことが出来ます.前期課程修了時には日本数学会などの一般講演を目標に,後期課程修了時には,国内外での研究集会における研究発表および国際的な学会誌や学術誌に掲載されるレベルの欧文の論文発表を具体的な目標にしています.数学専攻では,次世代の数学を担い,また数学を通して社会に貢献する人材の育成に努めています.