解析学分野

解析学

解析学とは、一言で言えば、微積分という操作に対する関数の性質を研究する数学の一大領域です。微積分の考え方は日常生活に現れる直感的な概念の厳密な定式化に既に用いられています。例えば、自由落下する物体のような変化し続ける速度の定式化には微小量を扱う微分が必要です。円や球といった真っ直ぐではない図形の面積・体積の定義には微小量の和としての積分の考え方が用いられます。さらに場所によって連続的に変化する物質の密度や流体の流れなどを扱う際にも、微小量の間の関係式として微積分が現れます。このように、ものを構成要素に細分化して分析し、必要に応じて全体の性質の解析に還元する、という近代科学の精神は、解析学によってその理論的裏付けがなされているのです。そして、その発展に、解析学は数多くのモデルや手法を提供し、大きな成功を収めてきました。


今後も進展し続ける解析学を基礎から学び、深く高度な研究に生かせるよう、筑波大学数学類では効率的なカリキュラムが組まれています。1年次から4年次までを通して、微積分学、ベクトル解析、微分方程式論、関数論、ルベーグ積分論、確率論、フーリエ解析、関数解析、といった解析学において共通で必要となる技術を習得しながら、3年次後期から4年次にかけて指導教員の下、専門のセミナーを行います。このセミナーではより高度な数学理論と緻密な議論展開の手法を身につけることができるでしょう。筑波大学の解析系は大きく以下のようないくつかのコースに分類することができます。


偏微分方程式論

時々刻々と変化する量の変化率の間の関係を与える「偏微分方程式」は、科学・技術のあらゆる局面に現れ、その数学的研究は解析学の中でも大きな割合を占めています。筑波大学数学専攻の解析系では偏微分方程式に関わる教員が充実しており、学類から大学院に至るまで講義、演習、セミナーを通じ、その具体例と理論の両面に触れる機会に溢れています。

大学院では双曲型方程式、シュレーディンガー方程式、ナビエ‐ストークス方程式が主な研究対象であり、変数係数や半空間の場合など、空間の曲がり方や形状を変化させたときの初期値問題の解の適切性やスペクトル・散乱理論などが、関数解析やフーリエ解析あるいは超局所解析の手法を用いて研究されています。さらに近年では数値解析、逆問題、ウェーブレットといった現実への応用に即した問題の研究にも力が入れられ、多くの新しい成果が得られています。筑波大学の偏微分方程式論グループでは幅広い研究テーマから選択して研究できる環境が整っています。


代数解析学

代数解析学は、代数的な手法を用いて解析学を研究する分野です。たとえば、偏微分作用素のなす非可換環上の加群であるD-加群や、コホモロジー理論を使って構成される佐藤超関数などを用いて、線形偏微分方程式の解空間や解の変換を調べる研究は、代数解析学のその後の著しい発展の出発点になりました。これらの手法は、特異点論や特殊関数論、量子群の表現論など、数学の他の分野にも多くの応用があります。


筑波大学では、D-加群や偏屈層を用いた多項式写像のモノドロミー、多変数超幾何関数の積分表示や解析接続、位相的ラドン変換とそのA-判別式多様体への応用などについての研究成果が得られています。さらに、代数解析学の手法は数理物理学、特に、様々な物理量が具体的に計算できる模型(可解系)の研究にも使われています。筑波大学でもこの分野の研究成果が得られており、サイン・ゴルドン模型の表現論的構造の解明や、量子KZ方程式の特殊解の構成などに成功しています。


確率論

筑波大学数学類では、確率論・測度論に関する講義・演習が数多く開講されています。確率論の基本概念やよく使われる確率分布等について学ぶと同時に、現代確率論の基礎となる測度論についても勉強します。その後、大数の法則や中心極限定理のように、日常生活では無意識に使われている確率論の基本定理についても学びます。また、3年次の後半から4年次にかけて、セミナーや卒業研究で、自分が興味を持っている分野について知識を深めます。


大学院では、確率解析を勉強・研究することが出来ます。金融工学やフィルター問題等において、ブラウン運動のようにとてもジグザグな動きをし、殆ど至る所で微分できない関数に関する積分が必要になります。しかし、これは通常のLebesgue-Stieltjes 積分として定義することは出来ません。確率積分と呼ばれるものです。また、偶然性を伴う自然現象を記述するとき、通常の微分方程式にランダムなゆらぎを加わった「確率微分方程式」がよく出てきます。これも確率解析の研究対象です。

 


数学専攻には、こうした研究を行っている教員が揃っており、各種数学特別セミナー、講義、研究集会などを通じて様々な数学を学ぶことが出来ます。前期課程修了時には日本数学会などの一般講演を目標に、後期課程修了時には、国内外での研究集会における研究発表および国際的な学会誌や学術誌に掲載されるレベルの欧文の論文発表を具体的な目標にしています。数学専攻では、次世代の数学を担い、また数学を通して社会に貢献する人材の育成に努めています。